1. Назовем “соросовским произведением” двух различных чисел, a и b, число a + b + ab. Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить:
а) число 1999;
б) число 2000?

2. На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день. Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T. Утром у игрока имелось 32 динара. Какое максимальное число
а) динаров;
б) талеров
он может получить к вечеру?

3. Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С. Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b).

4. Решите уравнение

5. Известно, что существует прямая, делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении. Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.

6. Пусть a³ – a – 1 = 0. Найдите точное значение выражения

7. Пусть прямая, перпендикулярная стороне AD параллелограмма ABCD, проходящая через точку В, пересекает прямую CD в точке M, а прямая, проходящая через точку В и перпендикулярная стороне CD, пересекает прямую AD в точке N. Докажите, что прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диагонали АС, проходит через середину отрезка MN.

8. Имеется 100 положительных чисел a₁, a₂, …, a₁₀₀ таких, что

Докажите, что a₁ Ч a₂ Ч … Ч a₁₀₀ і (99)¹⁰⁰.

9. Докажите, что для любого l > 3 найдется число х, для которого
sin x + sin lx і 1,8

10. Возьмем на стороне ВС треугольника АВС произвольную точку D и проведем окружность через точку D и центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и АCD. Докажите, что все окружности, полученные для различных точек D стороны ВС, имеют общую точку